2020, випуск 3, c. 43-58

Одержано 07.10.2020; Виправлено 12.10.2020; Прийнято 23.10.2020

Надруковано 27.10.2020; Вперше Online 05.11.2020

https://doi.org/10.34229/2707-451X.20.3.5

Попередня  |  Повний текст  |  Наступна

 

УДК 519.2

Нове сімейство експектилів та його властивості

В.М. Кузьменко ORCID ID favicon Big

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ

Листування: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

 

Вступ. У статті розглядається міра ризику, що називається експектиль. Експектиль – це характери-стика випадкової величини, яка обраховується з використанням асиметричного методу найменших квадратів. Рівень асиметрії задається параметром, що змінюється в інтервалі (0, 1). Експектиль використовується у фінансовому аналізі, портфельній оптимізації, в інших задачах оцінки так само, як квантиль (Value-at-Risk або VaR) та суперквантиль (Conditional Value-at-Risk або CVaR). Але експектиль має ряд переваг. Експектиль – це одноразово і коґерентна, і сприйнятлива (elicitable) міра ризику, що враховує весь розподіл випадкової величини, але надає більшу вагу правому хвосту.

Мета роботи. Як правило, експектиль порівнюється із квантилем. Наша мета – порівняти експек-тиль із суперквантилем (CVaR), використовуючи однаковий параметр – рівень довіри. Для цього  спочатку дається нове представлення експектиля через зважену суму середнього та CVaR. Потім  розглядається нове сімейство експектилей, яке задається двома параметрами. Такі експектилі порівнюються з квантилем та CVaR для різних неперервних та скінчених дискретних розподілів. Ще одна мета – побудувати регулярний ризик-квадрат, де експектиль є функцією ризику.

Результати. Запропоновано та обґрунтувано два нові вирази, що визначають експектиль. Перший вираз використовує максимізацію, в якій змінюється рівень довіри CVaR та коефіцієнт перед CVaR. Цей вираз конкретизовано для неперервних та скінченних дискретних розподілів. Другий вираз використовує мінімізацію нової функції помилок у новому ризик-квадраті. Використання двох параметрів у визначенні експектиля змінює його залежність від рівня довіри та генерує нове сімейство експектилів. Порівняння нових експектилів з квантилем та CVaR для ряду розподілів показує, що запропоновані експектилі можуть бути ближчі до квантиля, ніж стандартний експектиль. Запропоновано два варіанти лінеаризації експектиля та показано, як їх використовувати з лінійною функцією втрат.

 

Ключові слова: експектиль, EVaR, квантиль, суперквантиль, CVaR, представлення Кусуокі, фундаментальний ризик квадрат, пакет Portfolio Safeguard.

 

Цитувати так: Kuzmenko V. A New Family of Expectiles and its Properties. Cybernetics and Computer Technologies. 2020. 3. P. 43–58. https://doi.org/10.34229/2707-451X.20.3.5

 

Список літератури

           1.     Newey W.K., Powell J.L. Asymmetric least squares estimation and testing. Econometrica. 1987. 55 (4). P. 819–847. https://doi.org/10.2307/1911031

           2.     Yao Q., Tong H. Asymmetric least squares regression estimation: A nonparametric approach. Journal of Nonparametric Statistics. 1996. 6 (2–3). P. 273–292. https://doi.org/10.1080/10485259608832675

           3.     Bellini F., Klar B., Müller A., Gianin E.R. Generalized quantiles as risk measures. Insurance: Mathematics and Economics. 2014. 54. P. 41–48. https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2013.10.015

           4.     Rockafellar R.T., Uryasev S. Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions. Journal of Banking and Finance. 2002. 26 (7). P. 1443–1471. https://doi.org/10.1016/S0378-4266(02)00271-6

           5.     Ziegel J.F. Coherence and Elicitability. Mathematical Finance. 2016. 26 (3). P. 901–918. https://doi.org/10.1111/mafi.12080

           6.     Jakobsons E. Scenario aggregation method for portfolio expectile optimization. Statistics & Risk Modeling. 2016. 33 (1–2). P. 51–65. https://doi.org/10.1515/strm-2016-0008

           7.     Colombo С. Portfolio Optimization with Expectiles. University of Milano, 2018. 157 p. https://doi.org/10.13140/RG.2.2.35097.67685

           8.     Wagner A., Uryasev S. Portfolio Optimization with Expectile and Omega Functions. Risk Management (q-fin.RM). 2019. https://arxiv.org/abs/1910.14005

           9.     Waltrup L. S., Sobotka F., Kneib T., Kauermann G. Expectile and quantile regression – David and Goliath? Statistical Modelling. 2015. 15 (5). P. 433–456. https://doi.org/10.1177/1471082X14561155

       10.     Rockafellar R.T., Uryasev S. The Fundamental Risk Quadrangle in Risk Management, Optimization and Statistical Estimation. Surveys in Operations Research and Management Science. 2013. 18 (1). P. 33–53. https://doi.org/10.1016/j.sorms.2013.03.001

       11.     Kuzmenko V., Golodnikov A., Uryasev S. CVaR Regression Based on the Relation between CVaR and Mixed-Quantile Quadrangles. J. Risk Financial Manag. 2019. 12 (3). P. 107. https://doi.org/10.3390/jrfm12030107

       12.     Koenker R. Quantile Regression. Cambridge University Press, 2005. 349 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511754098

       13.     AORDA Portfolio Safeguard. http://www.aorda.com/index.php/portfolio-safeguard/ (accessed 14.10.2020)

       14.     Bellini F., Bernardino E.D. Risk management with Expectiles. The European Journal of Finance. 2017. 23 (6). P. 487–506. https://doi.org/10.1080/1351847X.2015.1052150

       15.     Schnabel S.K., Eilers P.H.C. Optimal expectile smoothing. Computational Statistics and Data Analysis. 2009. 53 (12). P. 4168–4177. https://doi.org/10.1016/j.csda.2009.05.002

       16.     Chen J.M. On Exactitude in Financial Regulation: Value-at-Risk, Expected Shortfall, and Expectiles. Risks. 2018. 6 (2). P. 61. https://doi.org/10.3390/risks6020061

       17.     Kusuoka S. On law invariant coherent risk measures. In: Kusuoka S., Maruyama T. (eds). Advances in Mathematical Economics. 2001. 3. P. 83–95. https://doi.org/10.1007/978-4-431-67891-5_4

       18.     Shapiro A. On Kusuoka Representation of Law Invariant Risk Measures. Mathematics of Operations Research. 2012. 38 (1). https://doi.org/10.1287/moor.1120.0563

       19.     Pichler A., Shapiro A. Uniqueness of Kusuoka Representations. 2012. https://arxiv.org/abs/1210.7257v4

       20.     Bellini F., Bignozzi V., Puccetti G. Conditional expectiles, time consistency and mixture convexity properties. Insurance: Mathematics and Economics. 2018. 82. P. 117–123. https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2018.07.001

       21.     Jones M.C. Expectiles and M-quantiles are quantiles. Statistics & Probability Letters. 1994. 20 (2). P. 149153. https://doi.org/10.1016/0167-7152(94)90031-0

       22.     Weber S. Distribution-Invariant Risk Measures, Information, and Dynamic Consistency. Mathematical Finance. 2006. 16 (2). P. 419–441. https://doi.org/10.1111/j.1467-9965.2006.00277.x

       23.     Gschöpf P. Measuring risk with expectile based expected shortfall estimates. Berlin: Humboldt-University, 2014. 61 p. http://dx.doi.org/10.18452/14215

       24.     Delbaen F. A Remark on the Structure of Expectiles. 22 Jul 2013. 9 p. https://arxiv.org/abs/1307.5881

       25.     Lan G., Zhou Z. Algorithms for stochastic optimization with function or expectation constraints. Comput Optim Appl. 2020. 76. (2). P. 461–498. https://doi.org/10.1007/s10589-020-00179-x

 

 

ISSN 2707-451X (Online)

ISSN 2707-4501 (Print)

Попередня  |  Повний текст  |  Наступна

 

 

 

© Вебсайт та оформлення. 2019-2021,

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,

Національна академія наук України.