2020, випуск 4, c. 47-64
Одержано 10.12.2020; Виправлено 15.12.2020; Прийнято 17.12.2020
Надруковано 31.12.2020; Вперше Online 22.01.2021
https://doi.org/10.34229/2707-451X.20.4.4
Попередня | Повний текст | Наступна
Оптимальне чисельне інтегрування
В.К. Задірака *
,
Л.В. Луц * ,
І.В. Швідченко
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ
* Листування: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її., Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.
Вступ. У багатьох прикладних задачах, таких як статистична обробка даних, цифрова фільтрація, комп'ютерна томографія, розпізнавання образів і багатьох інших, виникає необхідність чисельного інтегрування, причому із заданою (часто досить високою) точністю. Класичні квадратурні формули не завжди можуть забезпечити необхідну точність, оскільки, як правило, не враховують осциляцію підінтегральною функції. У зв'язку з цим розробка методів побудови оптимальних за точністю (і близьких до них) квадратурних формул інтегрування швидкоосцилюючих функцій є досить важливим і актуальним завданням обчислювальної математики.
Мета роботи. На прикладі побудови оптимальних за точністю (і близьких до них) квадратурних формул обчислення інтегралів для підінтегральних функцій різного ступеня гладкості і для осцилюючих множників різних типів та будови апріорних оцінок їх повної похибки, а також застосування до них теорії тестування якості алгоритмів-програм створюється теорія оптимального чисельного інтегрування.
Результати. Побудовано оптимальні за точністю (і близькі до них) квадратурні формули обчислення перетворення Фур'є, вейвлет-перетворень, перетворення Бесселя як в класичній постановці задачі, так і для інтерполяційних класів функцій, які відповідають випадку, коли інформаційний оператор про підінтегральну функцію заданий фіксованою таблицею своїх значень. В роботі розглядається пасивна чиста мінімаксна стратегія розв`язання задачі. В рамках цієї стратегії ми використовували метод «шапочок» Н.С. Бахвалова і метод граничних функцій, розроблений в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України. Велику увагу в роботі приділено якості оцінок похибки і методам їх отримання.
У статті викладені теоретичні аспекти теорії тестування алгоритмів-програм і наведені результати тестування побудованих квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій і оцінок їх характеристик. Для програм обчислення апріорних оцінок характеристик розглянуто задачу визначення областей допустимих значень керуючих параметрів програм обчислення інтегралів з необхідною точністю, а також найкращих їх значень для інтегрування з мінімально можливою похибкою.
Висновки. Отримані результати дають можливість створити теорію оптимального інтегрування, яка дозволяє обґрунтовано вибирати і ефективно використовувати обчислювальні ресурси для знаходження значення інтеграла із заданою точністю або з мінімально можливою похибкою.
Ключові слова: квадратурна формула, оптимальний алгоритм, інтерполяційний клас, швидкоосцилююча функція, тестування якості.
Цитувати так: Задірака В.К., Луц Л.В., Швідченко І.В. Оптимальне чисельне інтегрування. Cybernetics and Computer Technologies. 2020. 4. С. 47–64. https://doi.org/10.34229/2707-451X.20.4.4
Список літератури
1. Сергієнко І.В., Литвин О.М. Нові інформаційні оператори в математичному моделюванні. К.: Наукова думка, 2018. 550 с.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. 1. 632 с.
3. Задирака В.К., Иванов В.В. Вопросы оптимизации вычислений. К.: Общество «Знание» Украинской ССР, 1979. 36 с.
4. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. К.: Наук. думка, 1986. 584 с.
5. Бахвалов Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. 11 (4). С. 1014–1018. http://mi.mathnet.ru/eng/zvmmf/v11/i4/p1014
6. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia, Pennsylvania. 1992. 357 p. https://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9781611970104
7. Dremin I.M., Ivanov O.V., Nechitailo V.A. Wavelets and their uses. Uspekhi Fizicheskikh Nauk and Russian Academy of Sciences. 2001. 44 (5). P. 447–478. http://dx.doi.org/10.1070/PU2001v044n05ABEH000918
8. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: Солон-Р, 2002. 448 c. https://www.studmed.ru/dyakonov-vp-veyvlety-ot-teorii-k-praktike_3fd5e176555.html
9. Zadiraka V.K., Melnikova S.S., Luts L.V. Optimal Quadrature Formulas for Computation of Continuous Wavelet Transforms of Functions in Certain Classes. Journal of Automation and Information Sciences. 2010. 42 (5). P. 30–44. http://dx.doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v42.i5.40
10. Watson G.N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge University Press, 1995. 814 p.
11. Задірака В.К., Луц Л.В. Оптимальні за точністю квадратурні формули обчислення перетворення Бесселя для деяких класів підінтегральних функцій. Кибернетика и системный анализ. 2021. 57 (2). С. 81–95.
12. Stein E. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press. Princeton, NJ, 1993. 695 p. https://doi.org/10.1515/9781400883929-004
13. Зубов В.И. Функции Бесселя: Учебно-методическое пособие. М.: Московский физико-технический институт, 2007. 51 с. https://mipt.ru/education/chair/mathematics/upload/0a5/Posobie_Zubov.pdf
14. Луц Л.В. Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій. Штучний інтелект. 2008. 4. С. 671–682. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7665
15. Задирака В.К. Теория вычисления преобразования Фурье. К.: Наукова думка, 1983. 215 с.
16. Cергієнко І.В, Задірака В.К., Литвин О.М., Мельникова С.С., Нечуйвітер О.П. Оптимальні алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх застосування. К.: Наукова думка, 2011. Т. 2. 348 с.
ISSN 2707-451X (Online)
ISSN 2707-4501 (Print)
Попередня | Повний текст | Наступна