2024, випуск 1, c. 64-74
Одержано 04.03.2024; Виправлено 11.03.2024; Прийнято 19.03.2024
Надруковано 29.03.2024; Вперше Online 31.03.2024
https://doi.org/10.34229/2707-451X.24.1.5
Попередня | ПОВНИЙ ТЕКСТ | Наступна
Оптимальне за точністю відновлення деяких класів функцій за допомогою рядів Фур’є
О.М. Коломис 
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ
Листування: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.
Вступ. Апроксимація (наближення або відновлення) функцій широко використовується для аналізу даних, побудови моделей і прогнозування. Мета апроксимації функцій полягає у тому, щоб знайти функцію, яка найкраще наближає вихідну функцію. Це може бути корисно, коли вихідна функція надто складна для аналізу або коли потрібно спростити модель для ефективнішого обчислення чи інтерпретації. Апроксимація функцій – це важливий інструмент у науці, інженерії, економіці та інших галузях, де потрібен аналіз і моделювання даних. Вона дає змогу спростити складні функції, виявити закономірності у поведінці об’єкта дослідження, а також передбачити значення функції поза доступними даними.
Мета роботи. Розглядаються задачі апроксимації функції, яка на деякому проміжку задана своїми значеннями у деякому наборі вузлових точок і належить деякому класу функцій тригонометричним рядом Фур'є із заданою точністю і при виконанні заданих обмежень на час її виконання. Основну увагу приділено отриманню оцінок обчислювальної складності (часу реалізації) та вирішенню задачі апроксимації функції рядами Фур'є із заданою або максимально можливою точністю з використанням ефективних алгоритмів розв'язання оптимізаційних задач.
Результати. Наведено загальну постановку розв'язування задачі апроксимації функцій рядами Фур’є відповідно до технології розв'язування задач обчислювальної та прикладної математики із заданими значеннями характеристик якості. Наведено оцінки похибки запропонованих алгоритмів апроксимації з використанням для обчислення коефіцієнтів Фур'є оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій із класів Гельдера та Ліпшиця із заданими фіксованими значеннями у вузлах фіксованої сітки. Наведено відповідні квадратурні формули та конструктивні оцінки похибки методу апроксимації функцій вказаних класів. Отримано оцінки обчислювальної складності наведених алгоритмів, які дають змогу задавати реальні обмеження на час реалізації алгоритму із заданою або максимально можливою точністю.
Висновки. Проведено комплексний аналіз якості розглянутих алгоритмів апроксимації функцій рядами Фур'є з використанням для обчислення коефіцієнтів Фур'є оптимальних за точністю (або близьких до них) квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій. Отримано оцінки їхніх основних характеристик – точності та обчислювальної складності.
Ключові слова: апроксимація функцій, ряди Фур’є, коефіцієнти ряду Фур'є, похибка апроксимації, обчислювальна складність.
Цитувати так: Коломис О.М. Оптимальне за точністю відновлення деяких класів функцій за допомогою рядів Фур’є. Cybernetics and Computer Technologies. 2024. 1. С. 64–74. https://doi.org/10.34229/2707-451X.24.1.5
Список літератури
1. Задирака В.К., Мельникова С.С. Цифровая обработка сигналов. К.: Наукова думка, 1993. 294 с.
2. Cергієнко І.В., Задірака В.К., Литвин О.М., Мельникова С.С., Нечуйвітер О.П. Оптимальні алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх застосування. Т. 1. Алгоритми. Київ: Наукова думка, 2011. 447 с. Т. 2. Застосування. Київ: Наукова думка, 2011. 346 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Физматлит, 2001. 662 с.
4. Stepanets A.I. Methods of Approximation Theory . VSP: Leiden, Boston, 2005. 919 p. https://doi.org/10.1515/9783110195286
5. Задірака В.К., Бабич М.Д., Березовський А.І. та ін. Т-ефективні алгоритми наближеного розв’язання задач обчислювальної та прикладної математики. Тернопіль: Збруч, 2003. 261 с.
6. Коломис О.М. Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Гельдера рядами Фур’є. Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. 2021. № 32. С. 159–164. https://doi.org/10.15407/fmmit2021.32.159
7. Коломис О.М., Луц Л.В. Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій із класу Ліпшиця рядами Фур’є. Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. 2023. № 36. С. 111–115. https://doi.org/10.15407/10.15407/fmmit2023.36.111
ISSN 2707-451X (Online)
ISSN 2707-4501 (Print)
Попередня | ПОВНИЙ ТЕКСТ | Наступна